Se denomina ecuación a una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas en las cuales aparecen valores conocidos y otros desconocidos. Por ejemplo: x + 7 = 32.
Mientras que los valores desconocidos son denominados variables o incógnitas, que se representan por letras como “x”, “y” y “z” y cuya magnitud puede conocerse a partir de las propiedades matemáticas de la ecuación o a través de un sistema de ecuaciones, los valores conocidos son constantes (números o coeficientes).
Entre los tipos de ecuaciones pueden mencionarse: ecuaciones racionales, ecuaciones diofánticas, ecuaciones trascendentes, ecuaciones diferenciales, ecuaciones funcionales, ecuaciones integrales, ecuaciones de primer grado (o ecuaciones lineales), ecuaciones de segundo grado (o ecuaciones cuadráticas), ecuaciones de tercer grado, entre otras.
Ejemplos de ecuaciones
Ecuación de primer grado o lineal:ax + b = 0(donde b es una constante)
Ecuaciones de segundo grado o cuadráticas:ax² + bx + c = 0(donde c es una constante)
Ecuaciones de tercer grado:ax³ + bx² + cx + d = 0(donde d es una constante)
Ecuaciones de cuarto grado:ax4 + bx³ + cx² + dx + e = o(donde e es una constante)
2x = 4
x + 7 =32
2 + x - 5 = 12 + 3
8x = x + 2
3x² + 2x + 1 = 5
x = 4y
x³ + 6x² - 9x + 5x = 17
x5 + 5y3 - 22 = 5x - 1
2 tan x + √x = sen x - ½
(x + y) dx = (y - x)dy
dy/dx + P(x)y = Q(x) - R(x)
y' = 4 (y”)² + 5x - 3z + 24
log (7x + 5) = 12y + log4z
Ecuaciones equivalentes
Se dice que dos ecuaciones son equivalentes si tienen la misma solución. Esta propiedad se utiliza frecuentemente cuando se está intentando resolver una ecuación. Para poder determinar la equivalencia, se utilizan dos criterios:
Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original:
2x + 5 = x - 7
Esta ecuación tendrá el mismo resultado que esta otra:
2x + 5 - 5 = x - 7 - 5
2x = x - 12
Si a los dos miembros de una ecuación se les multiplica o se les divide una misma cantidad constante, la ecuación es equivalente a la original.
Ejemplos resueltos de ecuaciones
Para resolver una ecuación, se debe despejar completamente la incógnita o variable, quedando esta de un lado del igual. Para esto, se pueden aplicar diversas propiedades que permitan reducir las expresiones, así como pasar los términos de un lado al otro del igual.
Ejemplo 1:
x + 6 = 15
En este ejemplo, la x representa nuestra incógnita. Para despejarla, se dice que “pasamos” el término constante (+6) del otro lado del igual (lo que en realidad se hace es restarle 6 a ambos términos, lo que no modifica la igualdad).
x + 6 - 6 = 15 - 6
x = 15 - 6
Al resolver el segundo término, vemos que el único valor que puede tomar x para satisfacer la ecuación es 9.
x = 9
Ejemplo 2:
3x + 6 = 9
En este caso, debemos despejar la x, así que comenzamos “pasando” el 6 al segundo término.
3x = 9 - 63x = 3
Vemos que la x está siendo multiplicada por un 3, así que para deshacernos de él aplicaremos nuevamente la propiedad que establece que si realizamos la misma operación a ambos lados del igual, la equivalencia sigue siendo válida. En este caso, dividimos ambos términos por 3.
3x/3 = 3/3
Y ahora, simplificamos las fracciones para llegar al resultado.
x = 3
Ejemplo 3:
x + 8 = 12 - x
Aquí vemos que la incógnita x aparece dos veces, a ambos lados del igual. Como debemos tratar de tener solo una, pasamos todas las incógnitas del lado izquierdo del igual y todas las constantes del lado derecho.
x + x = 12 - 8
Ahora resolvemos las operaciones de ambos lados del igual (las incógnitas pueden sumarse y restarse igual que los demás valores).
2x = 4
Llegamos a una situación similar a la del ejemplo anterior, por lo cual tratamos de eliminar el 2 que multiplica a la x.
2x/2 = 4/2
x = 2
Ejemplo 4:
- (3x - 5) = 2 + x - 1
Para empezar, podemos reducir la expresión del segundo término, reacomodando los términos.
(3x - 5) = 2 - 1 + x
(3x - 5) = 1 + x
Ahora, debemos deshacernos del paréntesis, para lo cual podemos aplicar la propiedad distributiva del producto respecto de la resta.
12x - 20 = 1 + x
Nuevamente, dejamos todas las incógnitas de un lado del igual y los términos constantes del otro.
12x - x = 1 + 20
11x = 21
Y finalmente, despejamos completamente nuestra incógnita.
x = 21/11
